Cách nhận dạng đồ thị hàm số

Hôm nay, Toán học sẽ hướng dẫn bạn cách nhận dạng đồ thị hàm số, đây là dạng toán thường xuyên gặp trong bài thi toán của kì thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia. Bài viết này sẽ giúp bạn nhận dạng đồ thị hàm bậc ba, hàm trùng phương hàm phân thức, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chúng ta cùng nhau bắt đầu

1. Dấu hiệu nhận biết (dấu âm dương) các hệ số của hàm bậc ba dựa vào đồ thị

Hàm số bậc 3 có dạng tổng quát: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) (1)

Lấy đạo hàm (1): y’ = 3ax² + 2bx + c

Khi đó: $\Delta _{y’}^, = {b^2} – 3ac$

• Hàm số không có điểm cực trị ⇔ $\Delta _{y’}^, \leqslant 0$
• Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ $\Delta _{y’}^, > 0$

Gọi x₁, x₂ là hai điểm cực trị của hàm số. Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = – \frac{{2b}}{{3a}} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Với $\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = – \frac{b}{{2a}}$ chính là hoành độ của điểm uốn.

Cách nhận biết dấu của các hệ số

1.1 Hệ số a

Dựa vào xu hướng đi lên hay đi xuống của phần cuối đồ thị

1.2 Hệ số d

Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung (Oy)

1.3 Hệ số b

Dựa vào vị trí của điểm uốn so với trục Oy

Dựa vào vị trị của 2 điểm cực trị so với trục Oy

1.4 Hệ số c

Cực trị

2. Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương

Hàm số y = ax⁴ + bx² + c ( với a ≠ 0) (2)

Lấy đạo hàm y’ = 4ax³ + 2bx = 0 ⇔ $\left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} = – \frac{b}{{2a}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Nhận biết dấu của các hệ số

2.1 Hệ số a

Dựa vào xu hướng đi lên hay đi xuống của phần cuối đồ thị

2.2 Hệ số b

Dựa vào số điểm cực trị của hàm số

2.3 Hệ số c

Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung (Oy) .

3. Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ ( với ad – bc ≠ 0, c ≠ 0)

Đạo hàm $y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Tiệm cận đứng $x = – \frac{d}{c}.$ (d = 0 tiệm cận đứng là trục Oy: x = 0 )

Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}.$ (a = 0 tiệm cận ngang là trục Ox : y = 0)

Giao Ox => $x = – \frac{b}{a}$ với a ≠ 0. Nếu a = 0 thì không cắt Ox

Giao Oy => $y = \frac{b}{a}$

Với bài hàm số với các tham số là các giá trị cụ thể. Các tiêu chí để nhận dạng:

• Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang
• Dựa vào giao Ox,Oy
• Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến

Với hàm số có chứa các tham số

Nhận biết dấu của 6 cặp tích số:

• ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox $x = – \frac{b}{a}$
• ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$
• bd : Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy $y = \frac{b}{d}$
• cd : Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng $y = – \frac{d}{c}$
• ad : Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ HOẶC dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• bc : Dựa vào vị trí giao Ox và tiệm cận ngang HOẶC dựa vào vị trí giao Oy với tiệm cận đứng

4 tích số này học sinh có thể ghi nhớ bằng cách hiểu bản chất của các yếu tố: Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, giao Ox, giao Oy, tính đồng biến, nghịch biến.

4. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

4.1 Từ đồ thị hàm số f(x) suy ra đồ thị hàm số |f(x)|

Thần chú: Trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng lên trên

Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox của f(x) được giữ nguyên.

Toàn bộ đồ thị nằm phía dưới Ox của f(x) được lấy đối xứng lên trên.

4.2. Từ đồ thị hàm số f(x) suy ra đồ thị hàm số f(|x|)

Thần chú: Phải giữ nguyên, lấy đối xứng sang trái.

Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị nằm phía bên phải Oy của f(x) được giữ nguyên, phần bên trái Oy của f(x) bỏ đi.

Lấy đối xứng phần bên phải sang trái.

4.3. Từ đồ thị hàm số f(x) suy ra đồ thị hàm số |x – a|g(x) với (x – a)g(x) = f(x)

Thần chú: Phải a giữ nguyên, trái a lấy đối xứng qua Ox.

Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị ứng với x > a của f(x) (Nằm phía bên phải đường thẳng x = a ) được giữ nguyên.

Toàn bộ đồ thị ứng với x < a của f(x) (Nằm phía bên trái đường thẳng x = a ) lấy đối xứng qua Ox.

5. Đồ thị hàm số f'(x)

– Số giao điểm với trục hoành => số lần đổi dấu của f'(x) => số điểm cực trị

– Nằm trên hay dưới trục hoành => f'(x) > 0 hoặc f'(x) < 0 trên 1 miền => Tính đơn điệu của hàm số.

Trên đây là bài viết hướng dẫn bạn cách nhận dạng đồ thị hàm số. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong học tập cũng như tra cứu.