Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

Để tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian OXYZ chúng ta có nhiều cách, bài viết này giới thiệu với bạn 1 cách ngắn gọn, giúp tăng tốc giải trắc nghiệm

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử ta biết phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 và phương trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0

• Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( a; b; c)
• Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} $ = ( A; B; C)

Khi biết vecto pháp tuyến của của hai mp thì ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng:

$\begin{array}{l} \cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} \end{array}$

Với ( 0⁰ ≤ φ ≤ 90⁰ )

Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, có hai mặt phẳng với phương trình lần lượt là (P): 2x – 5y – 3z + 1 = 0 và (Q): – 3x + y – 2z – 7 =0. Hãy xác định góc giữa mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P): 2x – 5y – 3z + 1 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( 2; -5; -3 )

Mặt phẳng (Q): – 3x + y – 2z – 7 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( – 3; 1; – 2 )

Gọi φ là góc giữa 2 mặt phẳng này, nó được xác định theo công thức

$\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {2.\left( { – 3} \right) + \left( { – 5} \right).1 + \left( { – 3} \right).\left( { – 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {133} }}{{38}} \end{array}$

=> φ = 72,33⁰

Bài tập 2. Cho hai mặt phẳng (P): – 2x + y – 3z – 10 = 0 và (Q): x + y – z = 7 nằm trong không gian tọa độ Oxyz. Gọi φ là góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng này. Tìm cosφ

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P): – 2x + y – 3z – 10 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( -2; 1; – 3 )

Mặt phẳng (Q): x + y – z = 7 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( 1; 1; – 1 )

$\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \varphi = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}}\\ {{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = \frac{{\left| {\left( { – 2} \right).1 + 1.1 + \left( { – 3} \right).\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}} \end{array}$

Với hướng dẫn chi tiết ở trên, toanhoc.org hy vọng giúp bạn biết cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian Oxyz.