Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng là dạng toán quan trọng mà học sinh cần biết. Trong đề thi tham khảo toán của bộ GD&ĐT ra ngày 1/4/2021, có 2 câu thuộc dạng toán này. Nếu bạn đã có kiến thức căn bản về tích phân thì mời bạn xem bài viết ứng dụng tích phân ngay sau đây
1. Ứng dụng tích phân tính diện tích
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = f(x); trục Ox: (y = 0) và hai đường thẳng x = a; x = b là: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$.
$\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|$ công thức này chỉ đúng khi f(x) không đổi dấu trên khoảng (a; b).
Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{k}}$ trên (a;b) thì trên mỗi khoảng $\left( a;{{x}_{1}} \right),\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)…\left( {{x}_{k}};b \right)$ biểu thức f(x) không đổi dấu.
Khi đó tích phân $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$ được tính như sau:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$và hai đường thẳng $x=a,x=b\left( a<b \right)$: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx$.
2. Bài tập
Bài tập 1. Một hình phẳng A được giới hạn bởi 3 đường y = lnx; x = e; và trục Ox. Hãy tìm diện tích hình phẳng A trên.
Lời giải
Diện tích cần tính là: ${{S}_{A}}=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}=\int\limits_{1}^{e}{\ln xdx}-\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\ln xdx}$
Mà $\ln x=x(\ln x)’+x’\ln x=(x\ln x)’$
Nên ${{S}_{A}}=\left. x\ln x \right|_{1}^{e}-\left. x\ln x \right|_{\frac{1}{e}}^{1}=e-\frac{1}{e}$ (đvdt).
Kết luận: Diện tích hình phẳng A cần tìm là ${{S}_{A}}=e-\frac{1}{e}$(đvdt).
Bài tập 2 ( trích câu 44 trong đề tham khảo 2021). Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên. Biết giá tiền của kính như trên là 1. 500. 000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu?
A.23.591.000 đồng.
B.36.173.000 đồng.
C.9.437.000 đồng.
D.4.718.000 đồng.
Lời giải
Chọn câu C
Gọi $r$ là bán kính đáy của hình trụ thì ta có $4,45=2r\cdot \sin 150{}^\circ \Rightarrow r=4,45.$ Từ đó suy ra góc ở tâm ứng với cung này là $60{}^\circ $ và cung này bằng $\frac{1}{6}$ chu vi đường tròn đáy
Ta có diện tích xung quanh của các hình trụ là ${{S}_{xd}}=2\pi rh$ nên diện tích của tấm kính chính là $\frac{1}{6}\cdot 2\pi rh=\frac{\pi rh}{3}.$ Do đó,giá tiền là $1.500.000\times \frac{\pi \cdot 4,45\cdot 1,35}{3}\approx 9.437.000$ đồng
Bài tập 3 ( trích câu 48 trong đề tham khảo 2021). Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0$. Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ là diện tích của hai hinh phẳng được gạch trong hình bên. Tì số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng
A.$\frac{3}{4}$.
B.$\frac{5}{8}$.
C.$\frac{3}{8}$.
D.$\frac{3}{5}$.
Lời giải
Chọn câu D
Rõ ràng kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa độ O. Gọi $g(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ là hàm số khi đó thì dễ thấy $g(x)$ lẻ nên có ngay $b=d=0$ và $g(x)=a{{x}^{3}}+cx$ có hai điểm cực trị tương ứng là $-1,1,$ cũng là nghiệm của $3a{{x}^{2}}+c=0.$ Từ đó dễ dàng có $g(x)=k({{x}^{3}}-3x)$ với $k>0.$
Xét diện tích hình chữ nhật ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\left| (-1)\cdot g(-1) \right|=2k.$ Ngoài ra,
${{S}_{2}}=k\int_{-1}^{0}{\left| {{x}^{3}}-3x \right|\text{d}x}=\frac{5}{4}k.$
Vì thế ${{S}_{1}}=2k-\frac{5k}{4}=\frac{3k}{4}$ và $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{3}{5}.$
Bài tập 4. Cho parabol (P): $y=-{{x}^{2}}+2x$, có đỉnh S và A là giao điểm khác O của (P) và trục hoành. M là điểm di động trên SA, tiếp tuyến của (P) tại M cắt Ox, Oy tại E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích 2 tam giác cong MOE và MAF.
Lời giải
Tiếp tuyến tại $M\left( m;2m-{{m}^{2}} \right),\mathsf{ }1\le m\le 2$ có phương trình: $y=\left( 2-2m \right)\left( x-m \right)+2m-{{m}^{2}}\Leftrightarrow y=\left( 2-2m \right)x+{{m}^{2}}$
Ta có: $E\left( 0;{{m}^{2}} \right);\mathsf{ }F\left( \frac{{{m}^{2}}}{2m-2};0 \right)$ với $1<m\le 2$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành: $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| -{{x}^{2}}+2x \right|dx=\frac{4}{3}}$.
Ta thấy, ${{S}_{MOE}}+{{S}_{MAF}}={{S}_{OEF}}-S,$ $\left( {{S}_{MOE}}+{{S}_{MAF}} \right)\min \Leftrightarrow \left( {{S}_{OEF}} \right)\min $
$\left( {{S}_{MOE}}+{{S}_{MAF}} \right)\min ={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}-\frac{4}{3}=\frac{28}{27}$ khi $m=\frac{4}{3}$.
Vậy, $m=\frac{4}{3}$ thỏa bài toán
Bài tập 5. Tìm m để đồ thị (C): $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+2$ cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi (C) và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi (C) và Ox.
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C):${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+2=0\left( 1 \right)$
Đặt $t={{x}^{2}},\text{ }t\ge 0$, ta có phương trình : ${{t}^{2}}-2mt+m+2=0\mathsf{ }\left( 2 \right)$.
Yêu cầu bài toán <=> (2) có hai nghiệm t > 0 phân biệt
Gọi ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\text{ (}0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}})$ là hai nghiệm của (2). Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: ${{x}_{1}}=-\sqrt{{{t}_{2}}};{{x}_{2}}=-\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{3}}=\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}$.
Do tính đối xứng của (C) nên yêu cầu bài toán
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Trên đây là bài viết chia sẻ ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng của toán lớp 12. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn. Chúc bạn học hiệu quả.