các bài toán xác suất hay và khó

Xác suất là một chủ đề của Toán học có khá nhiều ứng dụng trong thực tế. Kiến thức này không chỉ dừng ở toán 11 khối THPT mà lên bậc đại học, nó được mở rộng thành một môn chuyên ngành để sinh viên tìm hiểu sâu. Thấy quan trọng của nó nên toanhoc.org đã viết thành 1 chuyên đề cẩn thận, hệ thống từ những căn bản về biến cố, xác suất tới phân chia thành những dạng bài tập hay gặp để bạn có thể hiểu và nhớ lâu, vận dụng thành thạo giải nhiều bài toán trong thực tế

A. Cơ sở lý thuyết xác suất

1. Biến cố

• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω.
• Biến cố không: Ø
• Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A: $\overline A = \Omega \backslash A$
• Hợp hai biến cố: A ∪ B
• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = Ø
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.

2. Xác suất

• Xác suất của biến cố: P(A) = $\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$
• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(Ø) = 0
• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = Ø thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

• P($\overline A $) = 1 – P(A)
• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A. B) = P(A). P(B)

B. Phân dạng bài tập

Dạng 1. Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố

Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau

• Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.
• Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.

Dạng 2. Tìm xác suất của biến cố

Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức: $P\left( A \right) = \frac{A}{N}$ với A là số lần xuất hiện của biến cố.

Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$

Dạng 3. Các quy tắc tính xác suất

Quy tắc cộng xác suất: Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)

Mở rộng quy tắc cộng xác suất: Cho k biến cố A₁, A₂, …., A_k đôi một xung khắc.

• Khi đó: P(A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_k)
• $P\left( {\overline A } \right)$ = 1 – P(A)

Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Quy tắc nhân xác suất

Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B).

Bài toán 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B)  với A và B là hai biến cố xung khắc
• $P\left( {\overline A } \right)$ = 1 – P(A)

Bài toán 02: Tính xác suất bằng quy tắc nhân

Để áp dụng quy tắc nhân ta cần:

• Chứng tỏ A và B độc lập
• Áp dụng công thức: P(AB) = P(A).P(B)